Les communications digitales modernes
(téléphone sans fil, video...) utilisent la modulation,
le codage et le traitement de l'information sous des formes de plus
en plus sophistiquées, et qui empruntent largement à la
théorie des nombres. De plus, comme le transport de
l'information modulée s'effectue sur des porteuses à
haute fréquence, l'utilisation efficace de la bande passante
dépend pour beaucoup des propriétés des
oscillateurs électroniques et de leur synchronisation, ce qui
est un problème d'approximation diophantienne.
Plus précisément on a observé que la
compréhension du bruit des fréquences fait appel aux
propriétés de la
fonction
zêta de Riemann à
proximité de la droite critique.
Cette rencontre, subventionnée par le
CNRS,
a pour but d'informer sur les liens obtenus à l'interface
entre les problèmes diophantiens, la physique quantique et la
métrologie des fréquences.
10h00-10h50 Francesco Amoroso, Distribution de la suite de Farey, Hypothèse de Riemann et hauteur normalisée de certains courbes
11h30-12h20
Jacky
Cresson,
Fractions
continues et oscillateurs
14h30-15h20 Serge Perrine, Mathématiques et Télécommunications
15h30-16h20 Paula Cohen, Géométrie non commutative et la fonction zêta de Riemann et de Dedekind
17h00-17h50 Pierre Cartier, Fonction zêta de Riemann, fonction zêta de Selberg et dessins d'enfants
18h30 - Buffet à l'Institut Henri
Poincaré
10h00-10h50 Bernard Julia, Théorie des nombres et physique: multiplications ou additions? rigidité ou chaos?
11h30-12h20
Nina
Snaith,
Every
moment brings a treasure: the Riemann zeta function and random
matrix theory
14h30-15h20 Patrick Flandrin, Ondelettes et bruits « en 1/f »
15h30-16h20 Enrico Rubiola, Phase noise metrology
17h00-17h50 Jean-Michel Courty, Mesures quantiques non idéales
Si vous désirez des renseignement,
envoyez un message à
planat@jsbach.univ-fcomte.fr
ou
miw@math.jussieu.fr
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On sait, depuis un article de Niederreiter,
que la suite de Farey est uniformément distribuée dans
[0,1]. On sait aussi, depuis deux travaux célèbres de
Franel et Landau, que des bornes fines de la discrépance (qui
mesure la qualité de la distribution) de cette suite sont
liées à l'hypothèse de Riemann. Dans cet
exposé nous ferons le point sur ces résultats. Nous
présenterons les travaux classiques cités et d'autres
travaux (peut-être moins connus) de Mikolás,
Codecà, Perelli, Kanemitsu et Yoshimoto. Nous discuterons
aussi de liens entre l'hypothèse de Riemann et la hauteur
normalisée (au sens de Zhang et Philippon - David) de certains
courbes dans G_m^2..
RÉFÉRENCES
In this lecture we shall trace the number
theoretic approaches to prove Riemann Hypothesis. This includes
Lindelöff Hypothesis, density results, the number of zeros on
the line sigma=1/2 (Hardy-Selberg), mean value results, etc. We shall
also discuss the order of zeta function on 1/2-line (omega results)
(unconditionally and under Riemann Hypothesis). We shall briefly
touch upon Montgomery's pair correlation conjecture (which goes
beyond Riemann Hypothesis).
A côté de la fonction de
Riemann , Selberg a introduit une fonction dont on sait localiser les
zéros (partie réelle 1/2) et qui lui ressemble beaucoup
. Des expériences numériques menées par
moi-même , puis reprises à grande échelle par
Hejhal , ont permis de calculer de nombreux zéros de cette
fonction , interprétés comme des valeurs propres. Je
voudrais esquisser comment la géométrie des lignes de
niveau des fonctions propres associées pourrait
s'interpréter à l'aide du théorème de
Biely ("dessins d'enfant").
Nous reprenons l'étude d'un certain
système dynamique étudié par Bost et Connes et
motivé par des travaux de B. Julia. Il s'agit d'un
système dynamique à fonction de partition la fonction
zêta de Riemann et à brisure spontanée de
symétrie au pôle de cette fonction.
L'approche récente de Connes à l'hypothèse de
Riemann y est reliée. Une généralisation de
l'oratrice s'applique à la fonction zêta de
Dedekind.
Les amplificateurs sont des
éléments essentiels dans les mesures de haute
précision. Leur rôle est d'amplifier le signal à
un niveau détectable et aussi très souvent de maintenir
par rétroaction l'appareil de mesure à son point de
fonctionnement optimal. Une analyse réaliste du processus de
mesure ne peut donc ignorer la présence de systèmes
actifs. Il est aussi nécessaire d'y associer une description
précise des phénomènes fondamentaux ainsi que
des contraintes expérimentales.
Ceci pose des questions fondamentales pour le problème de la
mesure quantique. Quels sont les rôles respectifs des
fluctuations thermodynamiques et des fluctuations quantiques? Comment
tenir compte des éléments actifs dans une mesure
quantique? Comment les contraintes expérimentales
interagissent-elles avec les limites fondamentales de
sensibilité?
Je présenterai cette problématique et je l'illustrerai
en discutant le cas d'un appareil réel, un
accéléromètre à friction froide
développé pour des applications de physique
fondamentale dans l'espace.
En partant des expériences sur les
oscillateurs de Michel Planat on construit un espace de nombres,
rendant compte du spectre des fréquences expérimental.
Cet ensemble de nombres est construit sous une hypothèse
fondamentale: il existe une résolution finie. La structure de
cet ensemble est rendu claire via l'utilisation des fractions
continues.
L'analyse et la modélisation de
bruits « en 1/f » posent des problèmes liés
à leurs caractéristiques de non-stationnarité,
de longue dépendance ou de (multi-)fractalité. On
montrera comment la transformation en ondelettes offre, par sa
structure multirésolution, un langage naturel et un cadre
unifié pour l'étude de tels processus. Divers
modèles (gaussiens, stables, d'auto-similarité
étendue, de cascades) seront considérés dans le
cadre du formalisme «ondelettes», en lien avec des
applications en turbulence développée et en
télétrafic informatique.
Dans un dispositif de communications,
l'information est modulée sur un oscillateur (la porteuse) et
comparée à un oscillateur local (de reference) au
travers d'un mélangeur non linéaire, ce qui permet de
ramener le traitement de l'information en bande de base (au voisinage
du continu). Ce principe né avec la radio revit actuellement
avec les communications mobiles.
Récemment nous avons constaté expérimentalement
que le spectre des raies issues du mélange possède la
dynamique des approximations diophantiennes. Les fréquences du
battement s'interprètent comme les fractions continues du
rapport des fréquences des oscillateurs d'entrée. Les
amplitudes du battement correspondent à l'écart de la
position des rationnels par rapport aux espacements uniformes. La
phase de la fonction zêta de Riemann sur (ou au voisinage) de
la droite critique est la clé des fluctuations de phase du
battement.
On passera en revue les résultats acquis à l'interface
entre les manips et la théorie des nombres premiers, et
comment ils permettent d'envisager de nouvelles voies pour la
modulation et le codage de l'information.
L'exposé fera le point sur les
domaines d'intérêt commun entre Mathématiques et
Télécommunications.
Après une identification du domaine des
Télécommunications, et quelques rappels sur les liens
historiques entre les deux domaines, on tentera une revue sur les
domaines actuels d'intérêt commun.
Une des difficultés de la présentation est que les
Télécommunications font partie du domaine plus vaste du
traitement de l'information, lui même partie de domaines encore
plus vastes des sciences de l'ingénieur.
On fera donc quelques choix, guidés par l'actualité du
domaine. On évoquera ce qui est relatif à la
modélisation, notamment autour d'Internet. On abordera les
problèmes de modélisation du trafic, ce qui est relatif
à la gestion de réseaux de routeurs, et bien entendu
les problèmes de codage de l'information.
L'objet de l'exposé est de montrer comment différents
problèmes techniques actuels peuvent déboucher sur de
nouveaux problèmes mathématiques
intéressants.
Il est intéressant également, en sens inverse, de
montrer comment différents chapitres de mathématiques
considérés autrefois comme sans application possible
peuvent aujourd'hui servir à une meilleure
compréhension de certains aspects des
Télécommunications. On mettra l'accent sur ce qui est
relatif à la géométrie hyperbolique, aux formes
modulaires, et à l'arithmétique.
On tentera, pour conclure, une revue des évolutions à
l'oeuvre au niveau national et international dans le domaine des
Télécommunications, ainsi qu'une évocation des
politiques repérées à la croisée des deux
grands domaines évoqués ici.
Phase noise, usually described in terms of
the power spectrum density S_phi(f) of the phase fluctuation phi(t),
is a relevant concern for high speed telecommunications, for research
purposes and for space
applications.
The interferometric method seems to
be the best choice for the measurement of S_phi in critical
applications. In fact this method, compared to other ones, shows
higher sensitivity, due to the low white and flicker instrument
noise, a wider power range, and an improved immunity to low frequency
magnetic fields. A sensitivity of the order of -180 dBrad^2/Hz
(white) and -150 dBrad^2/Hz (flicker at 1 Hz) is not difficult to
obtain, both in the HF-VHF and microwave
regions.
As the interferometric method allows
to measure the instant phase in real time, it can be exploited to
dynamically correct the phase noise of amplifiers and oscillators. If
the real time measure is not needed -- as in the characterization of
electronic components -- correlation and averaging techniques can be
used to further improve the sensitivity. Correlating and averaging
the output of two equal interferometers a noise compensation
mechanism takes place; thus, the instrument noise floor S_phi_floor
can be lower than the thermal energy kT referred to the carrier power
Pc. Finally, an improved scheme makes use of a single amplifier that
drives two detectors in quadrature with one another. Properly
choosing the detection geometry, the phase noise measurement is still
possible but the amplifier noise is rejected due to the quadrature
condition.
The eigenvalues of large random unitary
matrices have been conjectured to display the same statistics as the
zeros of the Riemann zeta function high on the critical line. In our
recent work we have been determining the extent to which
investigations of random matrices can aid in the study of the moments
of the zeta function averaged along the critical line, since mean
values of the characteristic polynomials of these matrices offer a
route for understanding the Riemann moments.
Mise à jour: 5 Décembre
1999