Institut de Mathématiques de Jussieu UMR 7586 du CNRS

Théorie des nombres, bruit des fréquences et télécommunications

 

Institut Henri Poincaré, Amphi Hermite

Vendredi 3 et Samedi 4 Décembre 1999

Les communications digitales modernes (téléphone sans fil, video...) utilisent la modulation, le codage et le traitement de l'information sous des formes de plus en plus sophistiquées, et qui empruntent largement à la théorie des nombres. De plus, comme le transport de l'information modulée s'effectue sur des porteuses à haute fréquence, l'utilisation efficace de la bande passante dépend pour beaucoup des propriétés des oscillateurs électroniques et de leur synchronisation, ce qui est un problème d'approximation diophantienne.
Plus précisément on a observé que la compréhension du bruit des fréquences fait appel aux propriétés de la
fonction zêta de Riemann à proximité de la droite critique.
Cette rencontre, subventionnée par le
CNRS, a pour but d'informer sur les liens obtenus à l'interface entre les problèmes diophantiens, la physique quantique et la métrologie des fréquences.

PROGRAMME:

Vendredi 3 Décembre
Samedi 4 Décembre

Si vous désirez des renseignement, envoyez un message à planat@jsbach.univ-fcomte.fr ou miw@math.jussieu.fr
Vous pouvez télécharger une version postscript:


Institut de Mathématiques de Jussieu UMR 7586 du CNRS

Théorie des nombres, bruit des fréquences et télécommunications

Institut Henri Poincaré

Vendredi 3 et Samedi 4 Décembre 1999

RESUMÉS DES EXPOSÉS

Francesco AMOROSO,

Distribution de la suite de Farey, Hypothèse de Riemann
et hauteur normalisée de certains courbes

On sait, depuis un article de Niederreiter, que la suite de Farey est uniformément distribuée dans [0,1]. On sait aussi, depuis deux travaux célèbres de Franel et Landau, que des bornes fines de la discrépance (qui mesure la qualité de la distribution) de cette suite sont liées à l'hypothèse de Riemann. Dans cet exposé nous ferons le point sur ces résultats. Nous présenterons les travaux classiques cités et d'autres travaux (peut-être moins connus) de Mikolás, Codecà, Perelli, Kanemitsu et Yoshimoto. Nous discuterons aussi de liens entre l'hypothèse de Riemann et la hauteur normalisée (au sens de Zhang et Philippon - David) de certains courbes dans G_m^2..
RÉFÉRENCES

R. BALASUBRAMANIAN,

A few aspects of Riemann Hypothesis

In this lecture we shall trace the number theoretic approaches to prove Riemann Hypothesis. This includes Lindelöff Hypothesis, density results, the number of zeros on the line sigma=1/2 (Hardy-Selberg), mean value results, etc. We shall also discuss the order of zeta function on 1/2-line (omega results) (unconditionally and under Riemann Hypothesis). We shall briefly touch upon Montgomery's pair correlation conjecture (which goes beyond Riemann Hypothesis).

P. CARTIER,

Fonction zêta de Riemann, fonction zêta de Selberg et dessins d'enfants

A côté de la fonction de Riemann , Selberg a introduit une fonction dont on sait localiser les zéros (partie réelle 1/2) et qui lui ressemble beaucoup . Des expériences numériques menées par moi-même , puis reprises à grande échelle par Hejhal , ont permis de calculer de nombreux zéros de cette fonction , interprétés comme des valeurs propres. Je voudrais esquisser comment la géométrie des lignes de niveau des fonctions propres associées pourrait s'interpréter à l'aide du théorème de Biely ("dessins d'enfant").

Paula COHEN,

Géométrie non commutative
et la fonction zêta de Riemann et de Dedekind

Nous reprenons l'étude d'un certain système dynamique étudié par Bost et Connes et motivé par des travaux de B. Julia. Il s'agit d'un système dynamique à fonction de partition la fonction zêta de Riemann et à brisure spontanée de symétrie au pôle de cette fonction.
L'approche récente de Connes à l'hypothèse de Riemann y est reliée. Une généralisation de l'oratrice s'applique à la fonction zêta de Dedekind.

Jean-Michel COURTY,

Mesures quantiques non idéales

Les amplificateurs sont des éléments essentiels dans les mesures de haute précision. Leur rôle est d'amplifier le signal à un niveau détectable et aussi très souvent de maintenir par rétroaction l'appareil de mesure à son point de fonctionnement optimal. Une analyse réaliste du processus de mesure ne peut donc ignorer la présence de systèmes actifs. Il est aussi nécessaire d'y associer une description précise des phénomènes fondamentaux ainsi que des contraintes expérimentales.
Ceci pose des questions fondamentales pour le problème de la mesure quantique. Quels sont les rôles respectifs des fluctuations thermodynamiques et des fluctuations quantiques? Comment tenir compte des éléments actifs dans une mesure quantique? Comment les contraintes expérimentales interagissent-elles avec les limites fondamentales de sensibilité?
Je présenterai cette problématique et je l'illustrerai en discutant le cas d'un appareil réel, un accéléromètre à friction froide développé pour des applications de physique fondamentale dans l'espace.

Jacky CRESSON,

Fractions continues et oscillateurs

En partant des expériences sur les oscillateurs de Michel Planat on construit un espace de nombres, rendant compte du spectre des fréquences expérimental. Cet ensemble de nombres est construit sous une hypothèse fondamentale: il existe une résolution finie. La structure de cet ensemble est rendu claire via l'utilisation des fractions continues.

Patrick FLANDRIN,

Ondelettes et bruits « en 1/f »

L'analyse et la modélisation de bruits « en 1/f » posent des problèmes liés à leurs caractéristiques de non-stationnarité, de longue dépendance ou de (multi-)fractalité. On montrera comment la transformation en ondelettes offre, par sa structure multirésolution, un langage naturel et un cadre unifié pour l'étude de tels processus. Divers modèles (gaussiens, stables, d'auto-similarité étendue, de cascades) seront considérés dans le cadre du formalisme «ondelettes», en lien avec des applications en turbulence développée et en télétrafic informatique.

Michel PLANAT,

Bruit des fréquences sur un récepteur de communication
et fonction zêta de Riemann

Dans un dispositif de communications, l'information est modulée sur un oscillateur (la porteuse) et comparée à un oscillateur local (de reference) au travers d'un mélangeur non linéaire, ce qui permet de ramener le traitement de l'information en bande de base (au voisinage du continu). Ce principe né avec la radio revit actuellement avec les communications mobiles.
Récemment nous avons constaté expérimentalement que le spectre des raies issues du mélange possède la dynamique des approximations diophantiennes. Les fréquences du battement s'interprètent comme les fractions continues du rapport des fréquences des oscillateurs d'entrée. Les amplitudes du battement correspondent à l'écart de la position des rationnels par rapport aux espacements uniformes. La phase de la fonction zêta de Riemann sur (ou au voisinage) de la droite critique est la clé des fluctuations de phase du battement.
On passera en revue les résultats acquis à l'interface entre les manips et la théorie des nombres premiers, et comment ils permettent d'envisager de nouvelles voies pour la modulation et le codage de l'information.

Serge PERRINE,

Mathématiques et Télécommunications

L'exposé fera le point sur les domaines d'intérêt commun entre Mathématiques et Télécommunications.
Après une identification du domaine des Télécommunications, et quelques rappels sur les liens historiques entre les deux domaines, on tentera une revue sur les domaines actuels d'intérêt commun.
Une des difficultés de la présentation est que les Télécommunications font partie du domaine plus vaste du traitement de l'information, lui même partie de domaines encore plus vastes des sciences de l'ingénieur.
On fera donc quelques choix, guidés par l'actualité du domaine. On évoquera ce qui est relatif à la modélisation, notamment autour d'Internet. On abordera les problèmes de modélisation du trafic, ce qui est relatif à la gestion de réseaux de routeurs, et bien entendu les problèmes de codage de l'information.
L'objet de l'exposé est de montrer comment différents problèmes techniques actuels peuvent déboucher sur de nouveaux problèmes mathématiques intéressants.
Il est intéressant également, en sens inverse, de montrer comment différents chapitres de mathématiques considérés autrefois comme sans application possible peuvent aujourd'hui servir à une meilleure compréhension de certains aspects des Télécommunications. On mettra l'accent sur ce qui est relatif à la géométrie hyperbolique, aux formes modulaires, et à l'arithmétique.
On tentera, pour conclure, une revue des évolutions à l'oeuvre au niveau national et international dans le domaine des Télécommunications, ainsi qu'une évocation des politiques repérées à la croisée des deux grands domaines évoqués ici.

Enrico RUBIOLA,

Phase noise metrology

Phase noise, usually described in terms of the power spectrum density S_phi(f) of the phase fluctuation phi(t), is a relevant concern for high speed telecommunications, for research purposes and for space applications.
The interferometric method seems to be the best choice for the measurement of S_phi in critical applications. In fact this method, compared to other ones, shows higher sensitivity, due to the low white and flicker instrument noise, a wider power range, and an improved immunity to low frequency magnetic fields. A sensitivity of the order of -180 dBrad^2/Hz (white) and -150 dBrad^2/Hz (flicker at 1 Hz) is not difficult to obtain, both in the HF-VHF and microwave regions.
As the interferometric method allows to measure the instant phase in real time, it can be exploited to dynamically correct the phase noise of amplifiers and oscillators. If the real time measure is not needed -- as in the characterization of electronic components -- correlation and averaging techniques can be used to further improve the sensitivity. Correlating and averaging the output of two equal interferometers a noise compensation mechanism takes place; thus, the instrument noise floor S_phi_floor can be lower than the thermal energy kT referred to the carrier power Pc. Finally, an improved scheme makes use of a single amplifier that drives two detectors in quadrature with one another. Properly choosing the detection geometry, the phase noise measurement is still possible but the amplifier noise is rejected due to the quadrature condition.

This is a joint work with Vincent Giordano
Talk will be given in french.

Nina SNAITH,

Every moment brings a treasure:
the Riemann zeta function and random matrix theory

The eigenvalues of large random unitary matrices have been conjectured to display the same statistics as the zeros of the Riemann zeta function high on the critical line. In our recent work we have been determining the extent to which investigations of random matrices can aid in the study of the moments of the zeta function averaged along the critical line, since mean values of the characteristic polynomials of these matrices offer a route for understanding the Riemann moments.


Mise à jour: 5 Décembre 1999

URL : http://www.math.jussieu.fr/~miw/telecom.html